Условие
Из точки P, удалённой от центра O окружности на расстояние 13, проведена касательная PA (A — точка касания). Радиус окружности равен 5. Найдите длину отрезка PA.
Подсказка
Какой угол образуют радиус, проведённый в точку касания, и касательная?
В прямоугольном треугольнике OAP гипотенузой является OP.
Показать ответ
12
Пошаговое решение
- Проводим радиус в точку касания
Радиус OA, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной PA. Значит, треугольник OAP прямоугольный с прямым углом A, а OP — его гипотенуза.
- Записываем теорему Пифагора
Катеты — радиус OA=5 и отрезок касательной PA, гипотенуза — расстояние OP: OA²+PA²=OP².
- Находим PA
PA²=OP²−OA²=13²−5²=169−25=144, PA=√144=12.
- Проверяем через секущую
Проведём из P секущую через центр. Её внешняя часть (от P до ближней точки окружности) равна OP−r=8, а вся секущая (до дальней точки) — OP+r=18. Квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть: 8·18=144=12² — совпало.
Ответ: 12