Условие
Касательные к окружности с центром O в точках A и B пересекаются в точке P, угол APB равен 72°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.
Подсказка
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Треугольник AOB равнобедренный: OA и OB — радиусы.
Показать ответ
36
Пошаговое решение
- Вспоминаем свойство касательной
Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Поэтому угол OAP=90° и угол OBP=90°.
- Находим угол AOB из четырёхугольника OAPB
Сумма углов четырёхугольника 360°: угол AOB=360°−90°−90°−72°=108°.
- Рассматриваем треугольник AOB
OA=OB как радиусы, поэтому треугольник AOB равнобедренный, и углы при основании AB равны: угол ABO=(180°−108°)/2=72°/2=36°.
- Проверяем другим путём
Отрезки касательных из одной точки равны: PA=PB, поэтому в треугольнике APB угол PBA=(180°−72°)/2=54°. Тогда угол ABO=90°−54°=36° — совпало. Ответ равен половине угла APB.
Ответ: 36