Условие
Основания трапеции ABCD равны BC=9 и AD=17. Средняя линия MN (M лежит на AB, N — на CD) пересекает диагональ AC в точке P. Найдите меньший из отрезков MP и PN.
Подсказка
Диагональ делит трапецию на два треугольника; части средней линии — их средние линии.
Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна.
Показать ответ
4,5
Пошаговое решение
- Вспоминаем свойства средней линии трапеции
Средняя линия соединяет середины боковых сторон: M — середина AB, N — середина CD, и MN параллельна основаниям. Диагональ AC делит трапецию на треугольники ABC и ACD.
- Смотрим на треугольник ABC
Прямая MP проходит через середину M стороны AB параллельно BC, поэтому по теореме Фалеса P — середина AC. Значит, MP — средняя линия треугольника ABC: MP=BC/2=9/2=4,5.
- Смотрим на треугольник ACD
P — середина AC, N — середина CD, поэтому PN — средняя линия треугольника ACD: PN=AD/2=17/2=8,5.
- Выбираем нужный отрезок и проверяем
Отрезки 4,5 и 8,5; меньший из них — MP=4,5. Проверка: MP+PN=4,5+8,5=13, и это как раз длина средней линии (9+17)/2=13.
Ответ: 4,5