Условие
В четырёхугольник ABCD вписана окружность. Известно, что AB=7, BC=9, CD=12. Найдите сторону AD.
Подсказка
Из каждой вершины к окружности проведены два равных отрезка касательных.
Сравните суммы противоположных сторон четырёхугольника.
Показать ответ
10
Пошаговое решение
- Используем равенство отрезков касательных
Каждая сторона касается окружности в одной точке. Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны. Обозначим их: из вершины A — a, из B — b, из C — c, из D — d.
- Записываем стороны через эти отрезки
Каждая сторона состоит из двух отрезков касательных из её концов: AB=a+b, BC=b+c, CD=c+d, DA=d+a.
- Получаем свойство описанного четырёхугольника
AB+CD=a+b+c+d и BC+DA=b+c+d+a — суммы одинаковые. Значит, в описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: AB+CD=BC+AD.
- Находим AD
7+12=9+AD, откуда AD=19−9=10.
- Проверяем
AB+CD=7+12=19, BC+AD=9+10=19. Суммы совпали. Ошибка — складывать соседние стороны AB+BC: противоположными являются AB и CD, BC и AD.
Ответ: 10