Условие
По графику производной, изображённому на рисунке, определите, сколько точек экстремума на отрезке [−3; 6] имеет функция f(x), заданная на интервале (−7; 7).
Подсказка
Экстремум функции f — там, где график f′ пересекает ось Ox, меняя знак.
Касание оси без перехода на другую сторону экстремума не даёт.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Вспоминаем признак экстремума
Точка экстремума функции — это точка, где производная равна нулю и меняет знак: с «+» на «−» получается максимум, с «−» на «+» — минимум. Если производная обращается в нуль, но знак не меняет, экстремума нет.
- Находим нули производной на отрезке
На отрезке [−3; 6] график f′ встречается с осью Ox в точках −2, 0, 3, 5. Разбираем каждую: x=−2: f′ меняет знак с «−» на «+» — точка минимума f; x=0: график f′ лишь касается оси и остаётся выше неё — знак не меняется, экстремума нет; x=3: f′ меняет знак с «+» на «−» — точка максимума f; x=5: f′ меняет знак с «−» на «+» — точка минимума f.
- Считаем точки экстремума
Подходят только точки, где знак меняется: x=−2, x=3, x=5 — всего 3. Нуль производной x=−6 лежит вне отрезка и не считается. Типичная ошибка — считать все точки, где график касается оси или пересекает её.
Ответ: 3