Условие
Объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 45. Найдите объём треугольной пирамиды ACB₁D₁, вершины которой совпадают с вершинами параллелепипеда (см. рисунок).
Подсказка
Какие тела останутся, если вырезать эту пирамиду из параллелепипеда?
Каждая угловая пирамида занимает шестую часть параллелепипеда.
Показать ответ
15
Пошаговое решение
- Смотрим, что остаётся вокруг пирамиды
Все рёбра пирамиды ACB₁D₁ — диагонали граней параллелепипеда. Если из параллелепипеда вырезать эту пирамиду, останутся четыре угловые треугольные пирамиды: при вершинах B, D, A₁ и C₁.
- Находим объём угловой пирамиды
Например, пирамида BACB₁: основание ABC — половина грани ABCD, высота BB₁ равна высоте параллелепипеда. Её объём ⅓·½·V=⅙·V=45:6=7,5. Остальные три устроены так же.
- Вычитаем угловые пирамиды
V(ACB₁D₁)=45−4·7,5=45−30=15.
- Проверяем
Получилась треть объёма: 45:3=15. Ошибка — считать, что пирамида занимает ⅙ объёма, как угловая: у неё нет ни одной грани, совпадающей с половиной грани параллелепипеда.
Ответ: 15