Условие
Объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 36. Найдите объём четырёхугольной пирамиды D₁ABCD, вершины которой совпадают с вершинами параллелепипеда (см. рисунок).
Подсказка
Сравните основание и высоту пирамиды с основанием и высотой параллелепипеда.
Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту.
Показать ответ
12
Пошаговое решение
- Выбираем основание и высоту
Основание пирамиды — вся нижняя грань ABCD, вершина D₁ лежит в верхней грани. Ребро DD₁ перпендикулярно основанию, поэтому высота пирамиды равна высоте параллелепипеда h=DD₁.
- Сравниваем с параллелепипедом
У пирамиды и параллелепипеда общее основание и одинаковая высота. Объём параллелепипеда S(ABCD)·h, а пирамиды ⅓·S(ABCD)·h.
- Делаем вывод
Значит, объём пирамиды составляет треть объёма параллелепипеда, где бы на верхней грани ни лежала её вершина.
- Считаем
V=36:3=12. Проверка частями: пирамиду D₁ABCD плоскость BDD₁ делит на две треугольные пирамиды по 36:6=6, вместе 12.
Ответ: 12