Условие
Объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 48. Найдите объём треугольной пирамиды ABDA₁, вершины которой совпадают с вершинами параллелепипеда (см. рисунок).
Подсказка
Какую часть грани ABCD составляет треугольник ABD?
Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту.
Показать ответ
8
Пошаговое решение
- Выбираем основание и высоту пирамиды
Возьмём за основание треугольник ABD, а за вершину — A₁. Треугольник ABD лежит в нижней грани, ребро AA₁ перпендикулярно ей, поэтому высота пирамиды равна высоте параллелепипеда h=AA₁.
- Сравниваем основания
Диагональ BD делит прямоугольник ABCD на два равных треугольника, поэтому S(ABD)=½·S(ABCD).
- Сравниваем объёмы
V(пирамиды)=⅓·S(ABD)·h=⅓·½·S(ABCD)·h=⅙·V(параллелепипеда).
- Считаем
V=48:6=8. Ошибка — забыть множитель ⅓ из формулы объёма пирамиды: получилось бы 24.
Ответ: 8