Условие
Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке P. Дуга AC, не содержащая точек B и D, равна 84°, а дуга BD, не содержащая точек A и C, равна 52°. Найдите угол APC. Ответ дайте в градусах.
Подсказка
Проведите хорду BC и найдите вписанные углы треугольника PBC.
Угол APC — внешний угол треугольника PBC.
Показать ответ
68
Пошаговое решение
- Проводим вспомогательную хорду BC
Угол APC не вписанный: его вершина лежит внутри круга. Проведём хорду BC и рассмотрим треугольник PBC — его углы при B и C вписанные, и их можно найти по дугам.
- Находим вписанные углы
Угол ABC опирается на дугу AC, поэтому он равен половине её: 84°/2=42°. Угол DCB опирается на дугу BD: 52°/2=26°.
- Применяем теорему о внешнем угле
Точки A, P, B лежат на одной прямой, поэтому угол APC — внешний угол треугольника PBC при вершине P. Он равен сумме двух внутренних, не смежных с ним: 42°+26°=68°.
- Записываем общее правило и проверяем
Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и их продолжениями: (84°+52°)/2=68°. Ошибка — взять только половину одной дуги или полуразность дуг (так считают угол между секущими, вершина которого вне круга).
Ответ: 68