Условие
Длина отрезка касательной PA, проведённой из точки P к окружности с центром O, равна 20 (A — точка касания), радиус окружности равен 15. Найдите расстояние от точки P до центра O.
Подсказка
Какой угол образуют радиус, проведённый в точку касания, и касательная?
В прямоугольном треугольнике OAP гипотенузой является OP.
Показать ответ
25
Пошаговое решение
- Проводим радиус в точку касания
Радиус OA, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной PA. Значит, треугольник OAP прямоугольный с прямым углом A, а OP — его гипотенуза.
- Записываем теорему Пифагора
Катеты — радиус OA=15 и отрезок касательной PA, гипотенуза — расстояние OP: OA²+PA²=OP².
- Находим OP
OP²=OA²+PA²=15²+20²=225+400=625, OP=√625=25.
- Проверяем через секущую
Проведём из P секущую через центр. Её внешняя часть (от P до ближней точки окружности) равна OP−r=10, а вся секущая (до дальней точки) — OP+r=40. Квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть: 10·40=400=20² — совпало.
Ответ: 25