Условие
Основания трапеции ABCD равны BC=10 и AD=22. Средняя линия MN (M лежит на AB, N — на CD) пересекает диагональ AC в точке P. Найдите больший из отрезков MP и PN.
Подсказка
Диагональ делит трапецию на два треугольника; части средней линии — их средние линии.
Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна.
Показать ответ
11
Пошаговое решение
- Вспоминаем свойства средней линии трапеции
Средняя линия соединяет середины боковых сторон: M — середина AB, N — середина CD, и MN параллельна основаниям. Диагональ AC делит трапецию на треугольники ABC и ACD.
- Смотрим на треугольник ABC
Прямая MP проходит через середину M стороны AB параллельно BC, поэтому по теореме Фалеса P — середина AC. Значит, MP — средняя линия треугольника ABC: MP=BC/2=10/2=5.
- Смотрим на треугольник ACD
P — середина AC, N — середина CD, поэтому PN — средняя линия треугольника ACD: PN=AD/2=22/2=11.
- Выбираем нужный отрезок и проверяем
Отрезки 5 и 11; больший из них — PN=11. Проверка: MP+PN=5+11=16, и это как раз длина средней линии (10+22)/2=16.
Ответ: 11