Условие
Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен 72. В пирамиду вписан конус: его вершина совпадает с вершиной пирамиды, а основание вписано в основание пирамиды. Найдите объём конуса, делённый на π.
Подсказка
У конуса и пирамиды одна и та же высота.
Сравните площадь квадрата со стороной a и площадь вписанного в него круга.
Показать ответ
18
Пошаговое решение
- Замечаем общую высоту
Вершины конуса и пирамиды совпадают, основания лежат в одной плоскости, поэтому высота h у них общая. Ни сторону основания, ни высоту знать не нужно — достаточно сравнить формулы.
- Сравниваем площади оснований
Основание пирамиды — квадрат со стороной a, его площадь a². Вписанный круг имеет диаметр a, то есть радиус a/2, и площадь π·(a/2)²=πa²/4.
- Сравниваем объёмы
V пирамиды=(1/3)·a²·h, V конуса=(1/3)·(πa²/4)·h. Значит, V конуса=V пирамиды·π/4: при одинаковой высоте объёмы относятся как площади оснований.
- Вычисляем
V конуса=72·π/4=18π, поэтому V/π=18. Проверка на примере: при a=6 и h=6 объём пирамиды равен (1/3)·36·6=72, а конуса — (1/3)·π·9·6=18π.
Ответ: 18