Условие
В правильную четырёхугольную пирамиду вписан конус: его вершина совпадает с вершиной пирамиды, а основание — круг, вписанный в основание пирамиды. Сторона основания пирамиды равна 8, высота пирамиды равна 9. Найдите объём конуса, делённый на π.
Подсказка
Высоты конуса и пирамиды совпадают.
Круг, вписанный в квадрат, имеет диаметр, равный стороне квадрата.
Показать ответ
48
Пошаговое решение
- Находим высоту конуса
Вершины конуса и пирамиды совпадают, а основания лежат в одной плоскости. Значит, у них общая высота: h=9.
- Находим радиус основания конуса
Круг вписан в квадрат со стороной 8: он касается всех сторон, поэтому его диаметр равен стороне квадрата. r=8:2=4.
- Вычисляем объём конуса
V=(1/3)πr²h=(1/3)·π·4²·9=(1/3)·16·9·π=48π, значит V/π=48.
- Сравниваем с пирамидой (проверка)
Объём пирамиды (1/3)·8²·9=192. У конуса и пирамиды общая высота, поэтому их объёмы относятся как площади оснований: πr²:a²=π/4. И правда, 192·π/4=48π.
Ответ: 48