Условие
Площадь боковой поверхности конуса в √2 раз больше площади его основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.
Подсказка
Площадь боковой поверхности конуса равна πrl, основания — πr².
Отношение l:r — это отношение гипотенузы к катету в треугольнике «высота, радиус, образующая».
Показать ответ
45
Пошаговое решение
- Записываем площади через r и l
Площадь основания S осн=πr², площадь боковой поверхности S бок=πrl, где r — радиус основания, l — образующая. Их отношение S бок:S осн=l:r — оно показывает, во сколько раз образующая длиннее радиуса.
- Переводим условие в отношение отрезков
S бок=√2·S осн, то есть πrl=√2·πr², откуда l=√2·r.
- Смотрим на прямоугольный треугольник
Высота конуса, радиус основания и образующая образуют прямоугольный треугольник: образующая — гипотенуза, радиус — катет, лежащий в плоскости основания. Угол между образующей и плоскостью основания — угол между гипотенузой и этим катетом.
- Находим угол
cos α=r/l=1/√2=√2/2, поэтому α=45°. Размеры конуса не нужны: угол определяется только отношением l:r.
Ответ: 45