Условие
Площадь полной поверхности конуса в 3 раза больше площади его основания. Найдите угол между образующей и высотой конуса. Ответ дайте в градусах.
Подсказка
Площадь боковой поверхности конуса равна πrl, основания — πr².
Отношение l:r — это отношение гипотенузы к катету в треугольнике «высота, радиус, образующая».
Показать ответ
30
Пошаговое решение
- Записываем площади через r и l
Площадь основания S осн=πr², площадь боковой поверхности S бок=πrl, где r — радиус основания, l — образующая. Их отношение S бок:S осн=l:r — оно показывает, во сколько раз образующая длиннее радиуса.
- Переводим условие в отношение отрезков
Полная поверхность — это основание плюс боковая поверхность: S полн=S осн+S бок=3·S осн, значит, S бок=2·S осн, то есть πrl=2πr², откуда l=2r.
- Смотрим на прямоугольный треугольник
Высота конуса, радиус основания и образующая образуют прямоугольный треугольник: образующая — гипотенуза, радиус — катет, лежащий в плоскости основания. Угол между образующей и высотой — угол между гипотенузой и другим катетом (высотой).
- Находим угол
Катет r лежит напротив искомого угла β между образующей и высотой: sin β=r/l=r/(2r)=1/2, поэтому β=30°. Размеры конуса не нужны: угол определяется только отношением l:r. Проверка: угол образующей с основанием равен 60° (cos=1/2), а острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90°: 90°−60°=30°.
Ответ: 30