Условие
Натуральное число сложили с суммой его цифр и получили 2026. Найдите это число.
Подсказка
Какой может быть наибольшая сумма цифр числа, меньшего данного? Оцените число снизу.
Первые две цифры известны — запишите число через цифры десятков x и единиц y и составьте уравнение.
Помните, что x и y — цифры от 0 до 9.
Показать ответ
2021
Пошаговое решение
- Оцениваем число сверху и снизу
Число n меньше 2026, значит, в нём не больше четырёх цифр, и сумма цифр не больше 9·4=36. Тогда n=2026−(сумма цифр)≥2026−36=1990. Итак, n лежит от 1990 до 2025, и его запись начинается с 19 или 20.
- Записываем условие через цифры
Обозначим цифру десятков x, цифру единиц y. Если n=19xy, то n+(сумма цифр)=1900+10x+y+1+9+x+y=1910+11x+2y=2026, откуда 11x+2y=116; если n=20xy, то n+(сумма цифр)=2000+10x+y+2+0+x+y=2002+11x+2y=2026, откуда 11x+2y=24.
- Подбираем цифры
«19xy»: 2y от 0 до 18, поэтому 11x от 98 до 116, x=9; x=9 даёт 2y=17 — нечётно; «20xy»: 2y от 0 до 18, поэтому 11x от 6 до 24, x=1 или 2; x=1 даёт 2y=13 — нечётно, x=2 даёт 2y=2, y=1. Подходит только n=2021.
- Проверяем
2021+(2+0+2+1)=2021+5=2026.
Ответ: 2021