Условие
Учитель раздал 100 конфет нескольким ученикам так, что каждый получил хотя бы одну конфету и никакие двое не получили поровну. Какое наибольшее число учеников могло получить конфеты?
Подсказка
Какой наименьшей может быть сумма нескольких различных натуральных чисел?
Оцените количество через сумму 1+2+3+… и затем постройте пример.
Показать ответ
13
Пошаговое решение
- Переводим условие на язык чисел
Нужно записать 100 в виде суммы попарно различных натуральных чисел и сделать слагаемых как можно больше: каждое слагаемое — это число конфет у одного ученика, а число слагаемых — это число учеников.
- Получаем оценку
Если слагаемых m, то, расположив их по возрастанию, получим числа не меньше 1, 2, 3, …, m. Поэтому их сумма не меньше 1+2+…+m=m(m+1)/2. При m=14: 14·15/2=105>100 — 14 слагаемых уже не поместятся, тем более больше.
- Строим пример
Для 13 слагаемых возьмём 1, 2, …, 12 и добавим недостающее: 1+2+…+12=78, последнее слагаемое 100−78=22. Все 13 чисел разные (последнее больше 12), сумма равна 100.
- Делаем вывод
Больше 13 нельзя, а 13 можно, значит, ответ 13. Заметим: 1+2+…+13=91≤100, и остаток 9 просто добавлен к самому большому слагаемому.
Ответ: 13