Условие
Деревянный брусок размером 3×5×7 см покрасили со всех сторон, а затем распилили на кубики с ребром 1 см. Сколько получилось кубиков, у которых ровно одна окрашенная грань?
Подсказка
Подумайте, в какой части бруска лежат кубики с нужным числом окрашенных граней.
Вдоль каждого измерения крайние слои окрашены: от длины ребра нужно отнять два крайних кубика.
Показать ответ
46
Пошаговое решение
- Считаем все кубики
Брусок распадается на 3·5·7=105 кубиков. У каждого кубика окрашены те грани, которые были на поверхности бруска: три, две, одна или ни одной.
- Разбираемся, где лежат нужные кубики
Одна окрашенная грань у кубиков, которые лежат на гранях бруска, но не у его рёбер. На каждой грани это внутренний прямоугольник, у которого каждая сторона на 2 меньше.
- Считаем
Грани бывают трёх размеров, каждого по две: 3×5, 5×7, 3×7. Внутренние прямоугольники: 1×3=3, 3×5=15, 1×5=5. Всего 2·(3+15+5)=2·23=46.
- Проверяем общим подсчётом
Угловых кубиков (три грани) 8, у рёбер (две грани) 36, на гранях (одна грань) 46, внутренних 15. Сумма 8+36+46+15=105 совпадает с числом всех кубиков, значит, мы ничего не пропустили и не посчитали дважды.
Ответ: 46