Условие
Деревянный брусок размером 4×5×6 см покрасили со всех сторон, а затем распилили на кубики с ребром 1 см. Сколько получилось кубиков, у которых ровно две окрашенные грани?
Подсказка
Подумайте, в какой части бруска лежат кубики с нужным числом окрашенных граней.
Вдоль каждого измерения крайние слои окрашены: от длины ребра нужно отнять два крайних кубика.
Показать ответ
36
Пошаговое решение
- Считаем все кубики
Брусок распадается на 4·5·6=120 кубиков. У каждого кубика окрашены те грани, которые были на поверхности бруска: три, две, одна или ни одной.
- Разбираемся, где лежат нужные кубики
Две окрашенные грани у кубиков, стоящих вдоль рёбер бруска, но не в вершинах (у угловых кубиков окрашены три грани).
- Считаем
У бруска 12 рёбер: по 4 ребра длиной 4, 5 и 6. На ребре длиной n таких кубиков n−2 (два крайних — угловые). Получаем 4·(2+3+4)=4·9=36.
- Проверяем общим подсчётом
Угловых кубиков (три грани) 8, у рёбер (две грани) 36, на гранях (одна грань) 52, внутренних 24. Сумма 8+36+52+24=120 совпадает с числом всех кубиков, значит, мы ничего не пропустили и не посчитали дважды.
Ответ: 36