Условие
Кузнечик сидит в начале координат на числовой прямой. За один прыжок он перемещается ровно на 1 единицу влево или вправо. Кузнечик сделал ровно 10 прыжков. Сколько существует различных точек числовой прямой, в которых он мог оказаться?
Подсказка
Порядок прыжков не влияет на конечную точку — важно только, сколько прыжков сделано вправо.
Выразите конечную координату через число прыжков вправо и переберите все его значения.
Показать ответ
11
Пошаговое решение
- Замечаем, от чего зависит конечная точка
Порядок прыжков не важен: при сложении сдвигов от перестановки слагаемых сумма не меняется. Важно только, сколько прыжков сделано вправо. Обозначим это число k; тогда влево сделано 10−k прыжков, а k может быть любым целым числом от 0 до 10.
- Записываем координату через k
Конечная координата x=k−(10−k)=2k−10. При k=0 получаем −10, при k=10 получаем 10.
- Выписываем все возможные точки
Подставляя k=0, 1, 2, …, 10, получаем точки −10, −8, −6, …, 8, 10. Все эти числа чётные: каждый прыжок меняет чётность координаты, а прыжков 10.
- Считаем точки и разбираем ошибку
Разные k дают разные точки, поэтому точек столько же, сколько значений k: 10+1=11. Частая ошибка — считать все целые точки от −10 до 10: в большинство из них кузнечик попасть не может.
Ответ: 11