Условие
Кузнечик сидит в начале координат на числовой прямой. За один прыжок он перемещается либо на 2 единицы вправо, либо на 1 единицу влево. Кузнечик сделал ровно 12 прыжков. Сколько существует различных точек числовой прямой, в которых он мог оказаться?
Подсказка
Порядок прыжков не влияет на конечную точку — важно только, сколько прыжков сделано вправо.
Выразите конечную координату через число прыжков вправо и переберите все его значения.
Показать ответ
13
Пошаговое решение
- Замечаем, от чего зависит конечная точка
Порядок прыжков не важен: при сложении сдвигов от перестановки слагаемых сумма не меняется. Важно только, сколько прыжков сделано вправо. Обозначим это число k; тогда влево сделано 12−k прыжков, а k может быть любым целым числом от 0 до 12.
- Записываем координату через k
Конечная координата x=2k−(12−k)=3k−12. При k=0 получаем −12, при k=12 получаем 24.
- Выписываем все возможные точки
Подставляя k=0, 1, 2, …, 12, получаем точки −12, −9, −6, …, 21, 24. Соседние значения отличаются на 3: так бывает, потому что замена одного прыжка влево на прыжок вправо сдвигает конечную точку на 1+2=3.
- Считаем точки и разбираем ошибку
Разные k дают разные точки, поэтому точек столько же, сколько значений k: 12+1=13. Частая ошибка — считать все целые точки от −12 до 24: в большинство из них кузнечик попасть не может.
Ответ: 13