Условие
На рисунке изображён график y=f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−7; 7). Для каждого из промежутков А–Г определите, какое утверждение о функции f(x) на нём верно. ПРОМЕЖУТКИ А) (−4; −2) Б) (0; 2) В) (2; 3) Г) (5; 7) УТВЕРЖДЕНИЯ 1) функция f(x) возрастает на всём интервале; 2) функция f(x) убывает на всём интервале; 3) на интервале есть точка максимума функции f(x); 4) на интервале есть точка минимума функции f(x). Ответ — номера утверждений для А, Б, В и Г, записанные подряд.
Подсказка
Интервал без пересечений графика f′ с осью — это интервал монотонности f.
Если внутри интервала график f′ переходит через ось, найдите, в какую сторону меняется знак.
Показать ответ
3412
Пошаговое решение
- Читаем график производной правильно
Здесь нарисован график производной, а не самой функции. Если график f′ лежит выше оси Ox, то f′(x)>0 и функция f возрастает; если ниже оси — f′(x)<0 и f убывает. Точки максимума и минимума функции f — это точки, где график f′ пересекает ось Ox.
- Разбираем интервалы А и Б
А) (−4; −2): внутри лежит точка x=−3: f′ меняет знак с «+» на «−» — точка максимума f. Утверждение 3. Б) (0; 2): внутри лежит точка x=1: f′ меняет знак с «−» на «+» — точка минимума f. Утверждение 4.
- Разбираем интервалы В и Г
В) (2; 3): на всём интервале график f′ выше оси Ox, f′>0, функция возрастает. Утверждение 1. Г) (5; 7): на всём интервале график f′ ниже оси Ox, f′<0, функция убывает. Утверждение 2.
- Записываем ответ
А — 3, Б — 4, В — 1, Г — 2. Типичная ошибка — искать максимум функции там, где вершина у графика производной: вершина графика f′ означает наибольший наклон f, а не её максимум.
Ответ: 3412