Условие
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC, ни одна сторона которого не идёт по линиям сетки. Если отсчитывать клетки от левого нижнего угла сетки, его вершины имеют координаты A(1; 6), B(9; 5), C(6; 1). Найдите площадь треугольника ABC.
Подсказка
Окружите треугольник прямоугольником со сторонами по линиям сетки.
Части прямоугольника вне треугольника — прямоугольные треугольники, их катеты считаются по клеткам.
Показать ответ
17,5
Пошаговое решение
- Достраиваем треугольник до прямоугольника
Проведём через крайние вершины линии сетки. Получится прямоугольник со сторонами по клеткам: по горизонтали от 1 до 9 — 8 клеток, по вертикали от 1 до 6 — 5 клеток. Его площадь 8·5=40. Одна вершина треугольника совпала с углом прямоугольника, две другие лежат на его сторонах.
- Находим площади трёх «лишних» треугольников
Между треугольником ABC и прямоугольником остались три прямоугольных треугольника. Гипотенуза каждого — сторона ABC, а катеты идут по линиям сетки и считаются по клеткам: у стороны AB катеты 8 и 1, площадь 8·1/2=4; у стороны BC катеты 3 и 4, площадь 3·4/2=6; у стороны CA катеты 5 и 5, площадь 5·5/2=12,5.
- Вычитаем лишнее из прямоугольника
Площадь треугольника ABC — это площадь прямоугольника без трёх лишних частей: S=40−(4+6+12,5)=40−22,5=17,5.
- Почему не считаем сразу по формуле ½·a·h
Ни одна сторона не идёт по сетке, поэтому ни сторону, ни высоту нельзя сосчитать по клеткам. Достраивание сводит задачу к прямоугольнику и прямоугольным треугольникам. Частая ошибка — забыть разделить произведение катетов на 2.
Ответ: 17,5