Условие
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC, ни одна сторона которого не идёт по линиям сетки. Если отсчитывать клетки от левого нижнего угла сетки, его вершины имеют координаты A(8; 1), B(1; 4), C(5; 7). Найдите площадь треугольника ABC.
Подсказка
Окружите треугольник прямоугольником со сторонами по линиям сетки.
Части прямоугольника вне треугольника — прямоугольные треугольники, их катеты считаются по клеткам.
Показать ответ
16,5
Пошаговое решение
- Достраиваем треугольник до прямоугольника
Проведём через крайние вершины линии сетки. Получится прямоугольник со сторонами по клеткам: по горизонтали от 1 до 8 — 7 клеток, по вертикали от 1 до 7 — 6 клеток. Его площадь 7·6=42. Одна вершина треугольника совпала с углом прямоугольника, две другие лежат на его сторонах.
- Находим площади трёх «лишних» треугольников
Между треугольником ABC и прямоугольником остались три прямоугольных треугольника. Гипотенуза каждого — сторона ABC, а катеты идут по линиям сетки и считаются по клеткам: у стороны AB катеты 7 и 3, площадь 7·3/2=10,5; у стороны BC катеты 4 и 3, площадь 4·3/2=6; у стороны CA катеты 3 и 6, площадь 3·6/2=9.
- Вычитаем лишнее из прямоугольника
Площадь треугольника ABC — это площадь прямоугольника без трёх лишних частей: S=42−(10,5+6+9)=42−25,5=16,5.
- Почему не считаем сразу по формуле ½·a·h
Ни одна сторона не идёт по сетке, поэтому ни сторону, ни высоту нельзя сосчитать по клеткам. Достраивание сводит задачу к прямоугольнику и прямоугольным треугольникам. Частая ошибка — забыть разделить произведение катетов на 2.
Ответ: 16,5