Условие
Мужчина ростом 1,8 м стоит на ровной площадке недалеко от вертикального столба, на вершине которого горит фонарь, и отбрасывает тень длиной 2,4 м. Отойдя от столба по прямой ещё на 3 м, он видит, что его тень стала длиной 3,6 м. На какой высоте (в метрах) находится фонарь?
Подсказка
Обозначьте неизвестное расстояние от столба до первого положения человека.
Для каждого положения запишите пропорцию из подобия треугольников с одной и той же высотой фонаря.
Приравняйте два выражения для отношения высоты фонаря к росту.
Показать ответ
6,3
Пошаговое решение
- Вводим неизвестные
Высота фонаря H неизвестна, и расстояние x от столба до первого положения тоже неизвестно. Во втором положении до столба x+3 м.
- Записываем подобие для каждого положения
Луч от фонаря через макушку даёт подобные прямоугольные треугольники. Отношение высоты фонаря к росту равно отношению «расстояние от столба до конца тени : тень». Первое положение: H/1,8=(x+2,4)/2,4. Второе: H/1,8=(x+3+3,6)/3,6=(x+6,6)/3,6.
- Приравниваем правые части и находим x
(x+2,4)/2,4=(x+6,6)/3,6. По свойству пропорции 3,6·(x+2,4)=2,4·(x+6,6), то есть 3,6x+8,64=2,4x+15,84. Переносим слагаемые с x влево, а числа вправо: 3,6x−2,4x=15,84−8,64, 1,2x=7,2, x=6 м.
- Находим высоту фонаря
H/1,8=(6+2,4)/2,4=8,4/2,4=3,5, значит H=1,8·3,5=6,3 м.
- Проверяем по второму положению
(6+6,6)/3,6=12,6/3,6=3,5 — то же отношение, поэтому ответ верный. Ошибка — считать x известным или отвечать найденным расстоянием x вместо H.
Ответ: 6,3