Условие
Мальчик ростом 1,7 м стоит на ровной площадке недалеко от вертикального столба, на вершине которого горит фонарь, и отбрасывает тень длиной 2 м. Отойдя от столба по прямой ещё на 3 м, он видит, что его тень стала длиной 3 м. На какой высоте (в метрах) находится фонарь?
Подсказка
Обозначьте неизвестное расстояние от столба до первого положения человека.
Для каждого положения запишите пропорцию из подобия треугольников с одной и той же высотой фонаря.
Приравняйте два выражения для отношения высоты фонаря к росту.
Показать ответ
6,8
Пошаговое решение
- Вводим неизвестные
Высота фонаря H неизвестна, и расстояние x от столба до первого положения тоже неизвестно. Во втором положении до столба x+3 м.
- Записываем подобие для каждого положения
Луч от фонаря через макушку даёт подобные прямоугольные треугольники. Отношение высоты фонаря к росту равно отношению «расстояние от столба до конца тени : тень». Первое положение: H/1,7=(x+2)/2. Второе: H/1,7=(x+3+3)/3=(x+6)/3.
- Приравниваем правые части и находим x
(x+2)/2=(x+6)/3. По свойству пропорции 3·(x+2)=2·(x+6), то есть 3x+6=2x+12. Переносим слагаемые с x влево, а числа вправо: 3x−2x=12−6, x=6 м.
- Находим высоту фонаря
H/1,7=(6+2)/2=8/2=4, значит H=1,7·4=6,8 м.
- Проверяем по второму положению
(6+6)/3=12/3=4 — то же отношение, поэтому ответ верный. Ошибка — считать x известным или отвечать найденным расстоянием x вместо H.
Ответ: 6,8