Условие
Крыша беседки имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания 8 м и высотой 3 м (см. рисунок). Найдите площадь крыши, то есть сумму площадей четырёх боковых граней пирамиды, в квадратных метрах.
Подсказка
Для площади боковой грани нужна её высота — апофема, а не высота пирамиды.
Апофема — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами «высота пирамиды» и «половина стороны основания».
Показать ответ
80
Пошаговое решение
- Понимаем, что нужно для площади грани
Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник с основанием, равным стороне квадрата. Его высота, проведённая из вершины пирамиды, называется апофемой. Именно апофема, а не высота пирамиды, нужна для площади грани.
- Находим апофему
Высота пирамиды, апофема и отрезок от центра основания до середины стороны образуют прямоугольный треугольник. Этот отрезок равен половине стороны: 8:2=4 м. Апофема — гипотенуза: √(3²+4²)=√(9+16)=√25=5 м.
- Находим площадь одной грани
Площадь треугольника — половина произведения основания на высоту: S₁=½·8·5=20 м².
- Находим площадь крыши
Граней четыре: 4·20=80 м². Ошибка — подставить вместо апофемы высоту пирамиды: 4·½·8·3=48 м² — это меньше настоящей площади.
Ответ: 80