Условие
Катеты прямоугольного треугольника ABC (угол C прямой) равны AC=20 и BC=21. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Подсказка
У прямого угла радиусы в точки касания образуют квадрат.
Гипотенуза состоит из двух отрезков касательных, проведённых из вершин A и B.
Показать ответ
6
Пошаговое решение
- Находим гипотенузу
По теореме Пифагора AB²=20²+21²=400+441=841, AB=29.
- Смотрим на точки касания у прямого угла
Пусть окружность с центром O касается AC в точке K и BC в точке L. Радиусы в точки касания перпендикулярны сторонам, угол C прямой, поэтому CKOL — квадрат со стороной r: CK=CL=r.
- Выражаем гипотенузу через отрезки касательных
Пусть M — точка касания на гипотенузе. Отрезки касательных из одной вершины равны: AM=AK=AC−CK=20−r и BM=BL=BC−CL=21−r. Гипотенуза AB=AM+BM, поэтому 29=(20−r)+(21−r). Отсюда 2r=20+21−29=12.
- Находим радиус
r=12/2=6. Общая формула для прямоугольного треугольника: r=(a+b−c)/2.
- Проверяем через площадь
Для любого треугольника S=p·r, где p — полупериметр. S=½·20·21=210, p=(20+21+29)/2=35, r=210/35=6 — тот же ответ.
Ответ: 6