Условие
Катеты прямоугольного треугольника ABC (угол C прямой) равны AC=5 и BC=12. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Подсказка
У прямого угла радиусы в точки касания образуют квадрат.
Гипотенуза состоит из двух отрезков касательных, проведённых из вершин A и B.
Показать ответ
2
Пошаговое решение
- Находим гипотенузу
По теореме Пифагора AB²=5²+12²=25+144=169, AB=13.
- Смотрим на точки касания у прямого угла
Пусть окружность с центром O касается AC в точке K и BC в точке L. Радиусы в точки касания перпендикулярны сторонам, угол C прямой, поэтому CKOL — квадрат со стороной r: CK=CL=r.
- Выражаем гипотенузу через отрезки касательных
Пусть M — точка касания на гипотенузе. Отрезки касательных из одной вершины равны: AM=AK=AC−CK=5−r и BM=BL=BC−CL=12−r. Гипотенуза AB=AM+BM, поэтому 13=(5−r)+(12−r). Отсюда 2r=5+12−13=4.
- Находим радиус
r=4/2=2. Общая формула для прямоугольного треугольника: r=(a+b−c)/2.
- Проверяем через площадь
Для любого треугольника S=p·r, где p — полупериметр. S=½·5·12=30, p=(5+12+13)/2=15, r=30/15=2 — тот же ответ.
Ответ: 2