Условие
Катеты прямоугольного треугольника ABC (угол C прямой) равны AC=8 и BC=15. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Подсказка
У прямого угла радиусы в точки касания образуют квадрат.
Гипотенуза состоит из двух отрезков касательных, проведённых из вершин A и B.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Находим гипотенузу
По теореме Пифагора AB²=8²+15²=64+225=289, AB=17.
- Смотрим на точки касания у прямого угла
Пусть окружность с центром O касается AC в точке K и BC в точке L. Радиусы в точки касания перпендикулярны сторонам, угол C прямой, поэтому CKOL — квадрат со стороной r: CK=CL=r.
- Выражаем гипотенузу через отрезки касательных
Пусть M — точка касания на гипотенузе. Отрезки касательных из одной вершины равны: AM=AK=AC−CK=8−r и BM=BL=BC−CL=15−r. Гипотенуза AB=AM+BM, поэтому 17=(8−r)+(15−r). Отсюда 2r=8+15−17=6.
- Находим радиус
r=6/2=3. Общая формула для прямоугольного треугольника: r=(a+b−c)/2.
- Проверяем через площадь
Для любого треугольника S=p·r, где p — полупериметр. S=½·8·15=60, p=(8+15+17)/2=20, r=60/20=3 — тот же ответ.
Ответ: 3