Условие
В правильную четырёхугольную пирамиду вписан конус: его вершина совпадает с вершиной пирамиды, а основание — круг, вписанный в основание пирамиды. Сторона основания пирамиды равна 6, высота пирамиды равна 4. Найдите объём конуса, делённый на π.
Подсказка
Высоты конуса и пирамиды совпадают.
Круг, вписанный в квадрат, имеет диаметр, равный стороне квадрата.
Показать ответ
12
Пошаговое решение
- Находим высоту конуса
Вершины конуса и пирамиды совпадают, а основания лежат в одной плоскости. Значит, у них общая высота: h=4.
- Находим радиус основания конуса
Круг вписан в квадрат со стороной 6: он касается всех сторон, поэтому его диаметр равен стороне квадрата. r=6:2=3.
- Вычисляем объём конуса
V=(1/3)πr²h=(1/3)·π·3²·4=(1/3)·9·4·π=12π, значит V/π=12.
- Сравниваем с пирамидой (проверка)
Объём пирамиды (1/3)·6²·4=48. У конуса и пирамиды общая высота, поэтому их объёмы относятся как площади оснований: πr²:a²=π/4. И правда, 48·π/4=12π.
Ответ: 12