Условие
Сосуд имеет форму конуса, обращённого вершиной вниз. В него налили жидкость до двух третей высоты сосуда (считая от вершины), её объём равен 40 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
Подсказка
Жидкость в коническом сосуде образует конус, подобный самому сосуду.
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.
Спрашивают не объём сосуда, а сколько ещё нужно долить.
Показать ответ
95
Пошаговое решение
- Видим подобные конусы
Жидкость в сосуде сама имеет форму конуса с той же вершиной, а её поверхность параллельна краю сосуда. Поэтому «конус жидкости» подобен всему сосуду.
- Находим коэффициент подобия
Высота конуса жидкости составляет 2/3 высоты сосуда. У подобных конусов радиусы относятся так же, как высоты, поэтому коэффициент подобия k=2/3.
- Переходим к объёмам
Объём конуса V=πr²h/3 содержит три линейных множителя (r, r и h), поэтому объёмы подобных тел относятся как k³=(2/3)³=8/27. Значит, объём всего сосуда равен 40:(8/27)=40·27/8=135 мл.
- Находим, сколько долить
Долить нужно разность: 135−40=95 мл. Типичные ошибки: ответить 135 (это объём всего сосуда) или считать объём пропорциональным высоте — тогда вышло бы, что весь сосуд вмещает 60 мл, а это неверно.
Ответ: 95