Условие
Сосуд имеет форму конуса, обращённого вершиной вниз. В него налили жидкость до половины высоты сосуда (считая от вершины), её объём равен 30 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
Подсказка
Жидкость в коническом сосуде образует конус, подобный самому сосуду.
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.
Спрашивают не объём сосуда, а сколько ещё нужно долить.
Показать ответ
210
Пошаговое решение
- Видим подобные конусы
Жидкость в сосуде сама имеет форму конуса с той же вершиной, а её поверхность параллельна краю сосуда. Поэтому «конус жидкости» подобен всему сосуду.
- Находим коэффициент подобия
Высота конуса жидкости составляет 1/2 высоты сосуда. У подобных конусов радиусы относятся так же, как высоты, поэтому коэффициент подобия k=1/2.
- Переходим к объёмам
Объём конуса V=πr²h/3 содержит три линейных множителя (r, r и h), поэтому объёмы подобных тел относятся как k³=(1/2)³=1/8. Значит, объём всего сосуда равен 30:(1/8)=30·8=240 мл.
- Находим, сколько долить
Долить нужно разность: 240−30=210 мл. Типичные ошибки: ответить 240 (это объём всего сосуда) или считать объём пропорциональным высоте — тогда вышло бы, что весь сосуд вмещает 60 мл, а это неверно.
Ответ: 210