Условие
Диаметр основания первого цилиндрического сосуда равен 10 см, вода в нём стоит на высоте 24 см. Всю воду перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого равен 20 см. На какой высоте окажется уровень воды во втором сосуде? Ответ дайте в сантиметрах.
Подсказка
Объём воды при переливании не меняется.
Площадь дна цилиндра пропорциональна квадрату радиуса, а не самому радиусу.
Показать ответ
6
Пошаговое решение
- Замечаем, что при переливании не меняется
Меняется форма воды, но не её объём. В каждом сосуде вода занимает цилиндр с тем же дном, что у сосуда, и высотой, равной уровню воды. Значит, объёмы воды в двух сосудах равны.
- Находим объём воды в первом сосуде
Радиус — половина диаметра: r₁=10:2=5 см, r₂=20:2=10 см. Объём воды — это объём цилиндра с радиусом дна r₁ и высотой, равной уровню воды: V=π·r₁²·h=5²·24·π=25·24·π=600π см³.
- Составляем уравнение для второго сосуда
Пусть уровень во втором сосуде равен x см. Тогда π·10²·x=600π. Делим обе части на π: 100·x=600.
- Находим уровень
x=600:100=6 см. Уровень понизился, потому что дно второго сосуда шире.
- Проверяем через отношение площадей дна
Радиусы относятся как 5:10, а площади дна — как квадраты радиусов: 25:100. Во сколько раз площадь дна больше, во столько раз уровень ниже: 24·25/100=6. Типичная ошибка — учесть отношение радиусов без квадрата: получилось бы 12 см.
Ответ: 6