Условие
Найдите значение выражения 27^(2/3)+16^(3/4).
Подсказка
Знаменатель дробного показателя — это степень корня, числитель — степень, в которую возводят корень.
Если показатель десятичный, сначала запишите его обыкновенной дробью.
Представьте каждое основание как степень небольшого целого числа.
Показать ответ
17
Пошаговое решение
- Вспоминаем смысл дробного показателя
Для a>0 степень с показателем m/n — это корень n-й степени из a, возведённый в степень m: a^(m/n)=(ⁿ√a)^m. Удобнее сначала извлечь корень, а потом возводить в степень: числа остаются маленькими.
- Определяем, какой корень нужен в каждой степени
Знаменатель показателя 2/3 равен 3, поэтому нужен кубический корень; 27=3³, значит ∛27=3; знаменатель показателя 3/4 равен 4, поэтому нужен корень 4-й степени; 16=2⁴, значит ∜16=2.
- Вычисляем каждую степень
27^(2/3)=(∛27)²=3²=9; 16^(3/4)=(∜16)³=2³=8.
- Выполняем действие и проверяем
9+8=17. Проверка первой степени другим способом: 27^(2/3)=(3³)^(2/3)=3^(3·2/3)=3²=9. Частая ошибка — умножать основание на показатель (27·2/3): степень так не вычисляется.
Ответ: 17