Условие
Найдите корень уравнения (1/9)^(x−2)=27^(x−4).
Подсказка
Запишите оба основания как степени одного и того же числа.
При возведении степени в степень показатели перемножаются.
Равные степени с одинаковым основанием имеют равные показатели.
Показать ответ
3,2
Пошаговое решение
- Выбираем общее основание
Оба основания — степени числа 3: 1/9=1/(3²)=3^(−2), 27=3³. Дробь вида 1/aᵏ записывается как степень с отрицательным показателем. Сравнивать показатели можно только у степеней с одинаковым основанием, поэтому переписываем обе части через основание 3.
- Возводим степень в степень
При возведении степени в степень показатели перемножаются: (a^m)^k=a^(m·k). Левая часть: (1/9)^(x−2)=3^(−2·(x−2))=3^(−2x+4). Правая часть: 27^(x−4)=3^(3·(x−4))=3^(3x−12).
- Приравниваем показатели
Основание 3>0 и 3≠1, функция 3^t строго монотонна, поэтому две степени числа 3 равны только при равных показателях: −2x+4=3x−12.
- Решаем линейное уравнение
Собираем x в левой части, числа — в правой: −5x=−16, x=−16:(−5)=3,2. Типичная ошибка — сразу приравнять x−2 и x−4, не приводя основания: такое уравнение не имеет решений, и кажется, что корней нет.
- Проверяем
При x=3,2 показатель слева −2x+4=−2,4, справа 3x−12=−2,4, то есть обе части равны 3^(−2,4).
Ответ: 3,2