Условие
Найдите корень уравнения (1/4)^(x−3)=8^(x−8).
Подсказка
Запишите оба основания как степени одного и того же числа.
При возведении степени в степень показатели перемножаются.
Равные степени с одинаковым основанием имеют равные показатели.
Показать ответ
6
Пошаговое решение
- Выбираем общее основание
Оба основания — степени числа 2: 1/4=1/(2²)=2^(−2), 8=2³. Дробь вида 1/aᵏ записывается как степень с отрицательным показателем. Сравнивать показатели можно только у степеней с одинаковым основанием, поэтому переписываем обе части через основание 2.
- Возводим степень в степень
При возведении степени в степень показатели перемножаются: (a^m)^k=a^(m·k). Левая часть: (1/4)^(x−3)=2^(−2·(x−3))=2^(−2x+6). Правая часть: 8^(x−8)=2^(3·(x−8))=2^(3x−24).
- Приравниваем показатели
Основание 2>0 и 2≠1, функция 2^t строго монотонна, поэтому две степени числа 2 равны только при равных показателях: −2x+6=3x−24.
- Решаем линейное уравнение
Собираем x в левой части, числа — в правой: −5x=−30, x=−30:(−5)=6. Типичная ошибка — сразу приравнять x−3 и x−8, не приводя основания: такое уравнение не имеет решений, и кажется, что корней нет.
- Проверяем
При x=6 показатель слева −2x+6=−6, справа 3x−24=−6, то есть обе части равны 2⁻⁶.
Ответ: 6