Условие
Найдите корень уравнения 4^(x+1)=(1/8)^(x−4).
Подсказка
Запишите оба основания как степени одного и того же числа.
При возведении степени в степень показатели перемножаются.
Равные степени с одинаковым основанием имеют равные показатели.
Показать ответ
2
Пошаговое решение
- Выбираем общее основание
Оба основания — степени числа 2: 4=2², 1/8=1/(2³)=2^(−3). Дробь вида 1/aᵏ записывается как степень с отрицательным показателем. Сравнивать показатели можно только у степеней с одинаковым основанием, поэтому переписываем обе части через основание 2.
- Возводим степень в степень
При возведении степени в степень показатели перемножаются: (a^m)^k=a^(m·k). Левая часть: 4^(x+1)=2^(2·(x+1))=2^(2x+2). Правая часть: (1/8)^(x−4)=2^(−3·(x−4))=2^(−3x+12).
- Приравниваем показатели
Основание 2>0 и 2≠1, функция 2^t строго монотонна, поэтому две степени числа 2 равны только при равных показателях: 2x+2=−3x+12.
- Решаем линейное уравнение
Собираем x в левой части, числа — в правой: 5x=10, x=10:5=2. Типичная ошибка — сразу приравнять x+1 и x−4, не приводя основания: такое уравнение не имеет решений, и кажется, что корней нет.
- Проверяем
При x=2 показатель слева 2x+2=6, справа −3x+12=6, то есть обе части равны 2⁶.
Ответ: 2