Условие
Найдите наибольшее трёхзначное число, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.
Подсказка
Какой остаток при делении на 3 даёт квадрат цифры, не кратной 3?
Сколько цифр, не кратных 3, должно быть в числе, чтобы сумма квадратов делилась на 3?
Не забудьте проверить, что сумма квадратов не делится на 9.
Показать ответ
875
Пошаговое решение
- Смотрим на остатки квадратов цифр при делении на 3
Если цифра делится на 3 (0, 3, 6, 9), её квадрат делится на 3. Остальные цифры (1, 2, 4, 5, 7, 8) дают квадраты 1, 4, 16, 25, 49, 64 — каждый при делении на 3 даёт остаток 1.
- Выясняем, какие цифры допустимы
Сумма квадратов даёт при делении на 3 такой же остаток, как количество цифр, не кратных 3. Чтобы она делилась на 3, таких цифр должно быть 0 или 3. Если бы все три цифры делились на 3, то и сумма цифр делилась бы на 3, а 20 на 3 не делится. Значит, все три цифры — из набора 1, 2, 4, 5, 7, 8.
- Перебираем числа по порядку
Первую цифру берём наибольшей — 8 (сумма двух оставшихся 20−8=12), затем как можно большую вторую цифру; идём по убыванию, выписывая подряд все числа из этих цифр с суммой цифр 20, и проверяем их: 884: 8²+8²+4²=64+64+16=144=9·16 — делится на 9, не подходит; 875: 8²+7²+5²=64+49+25=138.
- Проверяем найденное число
138=3·46, а при делении на 9 остаток 3, то есть сумма квадратов делится на 3, но не на 9. Сумма цифр 8+7+5=20. Большие кандидаты уже отброшены, поэтому 875 — наибольшее такое число.
Ответ: 875