Условие
Трёхзначное число в 12 раз больше суммы своих цифр. Найдите это число.
Подсказка
Запишите число как 100a+10b+c и раскройте скобки.
Оцените наибольшее значение правой части и найдите цифру сотен.
Посмотрите на чётность обеих частей равенства.
Показать ответ
108
Пошаговое решение
- Записываем условие через цифры
Число abc равно 100a+10b+c, условие: 100a+10b+c=12(a+b+c).
- Упрощаем равенство
100a+10b+c=12a+12b+12c, откуда 88a=2b+11c.
- Находим сотни
Правая часть не больше 2·9+11·9=117. Если a≥2, то 88a≥176>117 — невозможно. Значит, a=1 и 2b+11c=88.
- Находим десятки и единицы
2b — чётное, 88 — чётное, значит, 11c тоже чётно и c чётно. Кроме того, 2b≤18, поэтому 11c≥88−18=70, то есть c≥7. Чётная цифра не меньше 7 — это 8. Тогда 2b=88−88=0, b=0. Число 108.
- Проверяем
Сумма цифр 1+0+8=9, а 12·9=108. Решение единственное: a, c и b найдены однозначно.
Ответ: 108