Условие
В шкафу на нескольких полках стоят 60 книг. На каждой полке есть хотя бы одна книга, и на всех полках число книг разное. Какое наибольшее число полок может быть в шкафу?
Подсказка
Какой наименьшей может быть сумма нескольких различных натуральных чисел?
Оцените количество через сумму 1+2+3+… и затем постройте пример.
Показать ответ
10
Пошаговое решение
- Переводим условие на язык чисел
Нужно записать 60 в виде суммы попарно различных натуральных чисел и сделать слагаемых как можно больше: каждое слагаемое — это число книг на одной полке, а число слагаемых — это число полок.
- Получаем оценку
Если слагаемых m, то, расположив их по возрастанию, получим числа не меньше 1, 2, 3, …, m. Поэтому их сумма не меньше 1+2+…+m=m(m+1)/2. При m=11: 11·12/2=66>60 — 11 слагаемых уже не поместятся, тем более больше.
- Строим пример
Для 10 слагаемых возьмём 1, 2, …, 9 и добавим недостающее: 1+2+…+9=45, последнее слагаемое 60−45=15. Все 10 чисел разные (последнее больше 9), сумма равна 60.
- Делаем вывод
Больше 10 нельзя, а 10 можно, значит, ответ 10. Заметим: 1+2+…+10=55≤60, и остаток 5 просто добавлен к самому большому слагаемому.
Ответ: 10