Условие
На рисунке показан график функции y=f′(x), являющейся производной функции f(x) на интервале (−7; 7). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=2x−3 или совпадает с ней.
Подсказка
Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания.
Проведите на графике производной горизонтальную прямую на нужном уровне.
Показать ответ
6
Пошаговое решение
- Переводим параллельность на язык производной
Угловой коэффициент касательной к графику f в точке x₀ равен f′(x₀). Параллельные (или совпадающие) прямые имеют равные угловые коэффициенты, а у прямой y=2x−3 он равен 2. Значит, ищем точки, в которых f′(x)=2.
- Проводим на рисунке горизонтальную прямую
Решения уравнения f′(x)=2 — абсциссы точек пересечения графика f′ с прямой y=2. Идём по графику слева направо: от −7 до −5 значения f′ меняются от −1 до 3 и проходят через 2 один раз; от −5 до −3 значения f′ меняются от 3 до 1 и проходят через 2 один раз; от −3 до −1 значения f′ меняются от 1 до 4 и проходят через 2 один раз; от −1 до 1 значения f′ меняются от 4 до −2 и проходят через 2 один раз; от 1 до 4 значения f′ меняются от −2 до 3 и проходят через 2 один раз; от 4 до 6 значения f′ меняются от 3 до −1 и проходят через 2 один раз.
- Считаем пересечения
Всего 6 точек пересечения, столько же искомых точек. Ни одна вершина графика f′ не лежит ровно на уровне 2, поэтому касаний и спорных случаев нет. Не нужно пересекать график с самой прямой y=2x−3: на рисунке график производной, и с числом 2 сравниваются значения f′.
Ответ: 6