Условие
На рисунке показан график функции y=f′(x), являющейся производной функции f(x) на интервале (−7; 7). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=x+7 или совпадает с ней.
Подсказка
Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания.
Проведите на графике производной горизонтальную прямую на нужном уровне.
Показать ответ
5
Пошаговое решение
- Переводим параллельность на язык производной
Угловой коэффициент касательной к графику f в точке x₀ равен f′(x₀). Параллельные (или совпадающие) прямые имеют равные угловые коэффициенты, а у прямой y=x+7 он равен 1. Значит, ищем точки, в которых f′(x)=1.
- Проводим на рисунке горизонтальную прямую
Решения уравнения f′(x)=1 — абсциссы точек пересечения графика f′ с прямой y=1. Идём по графику слева направо: от −7 до −5 значения f′ меняются от 3 до −1 и проходят через 1 один раз; от −5 до −2 значения f′ меняются от −1 до 2 и проходят через 1 один раз; от −2 до 1 значения f′ меняются от 2 до −2 и проходят через 1 один раз; от 3 до 5 значения f′ меняются от 0 до 2 и проходят через 1 один раз; от 5 до 7 значения f′ меняются от 2 до 0 и проходят через 1 один раз.
- Считаем пересечения
Всего 5 точек пересечения, столько же искомых точек. Ни одна вершина графика f′ не лежит ровно на уровне 1, поэтому касаний и спорных случаев нет. Не нужно пересекать график с самой прямой y=x+7: на рисунке график производной, и с числом 1 сравниваются значения f′.
Ответ: 5