Условие
На рисунке показан график функции y=f′(x), являющейся производной функции f(x) на интервале (−6; 6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=−x+4 или совпадает с ней.
Подсказка
Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания.
Проведите на графике производной горизонтальную прямую на нужном уровне.
Показать ответ
4
Пошаговое решение
- Переводим параллельность на язык производной
Угловой коэффициент касательной к графику f в точке x₀ равен f′(x₀). Параллельные (или совпадающие) прямые имеют равные угловые коэффициенты, а у прямой y=−x+4 он равен −1. Значит, ищем точки, в которых f′(x)=−1.
- Проводим на рисунке горизонтальную прямую
Решения уравнения f′(x)=−1 — абсциссы точек пересечения графика f′ с прямой y=−1. Идём по графику слева направо: от −6 до −4 значения f′ меняются от 2 до −3 и проходят через −1 один раз; от −4 до −1 значения f′ меняются от −3 до 1 и проходят через −1 один раз; от −1 до 2 значения f′ меняются от 1 до −2 и проходят через −1 один раз; от 2 до 4 значения f′ меняются от −2 до 0 и проходят через −1 один раз.
- Считаем пересечения
Всего 4 точки пересечения, столько же искомых точек. Ни одна вершина графика f′ не лежит ровно на уровне −1, поэтому касаний и спорных случаев нет. Не нужно пересекать график с самой прямой y=−x+4: на рисунке график производной, и с числом −1 сравниваются значения f′.
Ответ: 4