Условие
Функция f(x) определена на интервале (−7; 7), а на рисунке изображён график её производной. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Подсказка
Функция возрастает там, где её производная положительна, то есть график f′ выше оси Ox.
Если график производной только касается оси и не уходит под неё, возрастание не прерывается.
Показать ответ
8
Пошаговое решение
- Переходим от графика производной к поведению функции
Здесь нарисован график производной, а не самой функции. Если график f′ лежит выше оси Ox, то f′(x)>0 и функция f возрастает; если ниже оси — f′(x)<0 и f убывает.
- Находим, где производная положительна
График f′ лежит выше оси Ox на промежутках (−5; 3), (6; 7) (в точке x=−1 он только касается оси). На них функция f возрастает; концы, где f′=0, тоже можно включить в промежуток возрастания.
- Разбираемся с точкой касания
В точке x=−1 график f′ касается оси, но не уходит под неё: производная равна нулю только в одной точке, а слева и справа от неё положительна. Функция продолжает возрастать, поэтому участки слева и справа от −1 образуют один промежуток возрастания.
- Сравниваем длины
Длины промежутков: (−5; 3): 3−(−5)=8; (6; 7): 7−6=1. Наибольшая длина равна 8.
Ответ: 8