Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (−7; 6). На оси абсцисс отмечены точки −4, −1, 1 и 3. В какой из этих точек значение производной функции f(x) наибольшее? В ответе укажите абсциссу этой точки.
Подсказка
Сначала разделите точки на те, где график идёт вверх, вниз и где касательная горизонтальна.
Среди точек с одинаковым знаком производной сравните крутизну графика.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Вспоминаем смысл производной
Значение производной в точке — это угловой коэффициент касательной, то есть «крутизна» графика со знаком. Где график идёт вверх, f′>0, и чем круче подъём, тем больше f′. Где график идёт вниз, f′<0, и чем круче спуск, тем меньше f′. В вершине или впадине f′=0.
- Оцениваем наклон в каждой точке
Мысленно прикладываем к графику касательную и примерно оцениваем её наклон по клеткам: x=−4 — график полого идёт вверх, f′(−4)≈0,5; x=−1 — вершина графика, касательная горизонтальна, f′(−1)=0; x=1 — график круто идёт вниз, f′(1)≈−1; x=3 — график круто идёт вверх, f′(3)≈3.
- Выбираем нужную точку
Наибольшее из чисел 0,5; 0; −1; 3 равно 3, оно получается в точке x=3 (точные значения не нужны: достаточно сравнить знаки и крутизну). Любое положительное число больше нуля и любого отрицательного, поэтому ответ ищем среди точек подъёма и выбираем самый крутой подъём.
Ответ: 3