Условие
Функция f(x) определена на интервале (−7; 8), а на рисунке изображён график её производной. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Подсказка
Функция возрастает там, где её производная положительна, то есть график f′ выше оси Ox.
Если график производной только касается оси и не уходит под неё, возрастание не прерывается.
Показать ответ
6
Пошаговое решение
- Переходим от графика производной к поведению функции
Здесь нарисован график производной, а не самой функции. Если график f′ лежит выше оси Ox, то f′(x)>0 и функция f возрастает; если ниже оси — f′(x)<0 и f убывает.
- Находим, где производная положительна
График f′ лежит выше оси Ox на промежутках (−7; −6), (2; 8) (в точке x=5 он только касается оси). На них функция f возрастает; концы, где f′=0, тоже можно включить в промежуток возрастания.
- Разбираемся с точкой касания
В точке x=5 график f′ касается оси, но не уходит под неё: производная равна нулю только в одной точке, а слева и справа от неё положительна. Функция продолжает возрастать, поэтому участки слева и справа от 5 образуют один промежуток возрастания.
- Сравниваем длины
Длины промежутков: (−7; −6): −6−(−7)=1; (2; 8): 8−2=6. Наибольшая длина равна 6.
Ответ: 6