Условие
Записаны 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое любых 5 из них является целым. а) Обязательно ли все числа имеют одинаковый остаток при делении на 5? б) Могут ли среди них одновременно находиться 1 и 5? в) Известно, что число 1 записано. Найдите наименьшую возможную сумму всех чисел.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 1: Сравните суммы двух наборов по 5 чисел, отличающихся ровно одним элементом.
Шаг 2 для варианта 1: Если записано 1, все числа сравнимы с 1 по модулю 5; выпишите самые маленькие различные представители этого класса.
Показать ответ
а) да; б) нет; в) 235
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Сравните суммы двух наборов по 5 чисел, отличающихся ровно одним элементом. Если записано 1, все числа сравнимы с 1 по модулю 5; выпишите самые маленькие различные представители этого класса.
- Пункт а
а) Сумма любого набора из 5 чисел делится на 5.
- Выполняем преобразование
Заменим в таком наборе одно число другим: разность двух сумм делится на модуль, поэтому любые два записанных числа сравнимы по модулю. Ответ: да.
- Пункт б
б) Остатки 1 и 5 различны, значит, одновременно они присутствовать не могут.
- Пункт в
в) Наименьшие 10 различных натуральных чисел с остатком 1: 1, 1+5, …, 1+9·5.
- Выполняем преобразование
Их сумма 10+5·9·10/2=235.
- Выполняем преобразование
Сумма любых 5 членов этого набора сравнима с 5 и делится на модуль, поэтому оценка достигается.
Ответ: а) да; б) нет; в) 235