Условие
Шестизначный палиндром N=abccba составлен из попарно различных цифр a,b,c; сумма его цифр равна 18. Кроме того, N делится на 7. а) Докажите, что N всегда делится на 11. б) Сколько таких N удовлетворяет всем условиям? в) Найдите наименьшее из них.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 6: Примените признак делимости на 11 к чередующейся сумме цифр палиндрома.
Шаг 2 для варианта 6: Из суммы цифр получите a+b+c=9; переберите конечное число троек и проверяйте выражение N=100001a+10010b+1100c modulo 7.
Показать ответ
а) 11; б) 3; в) 108801
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Примените признак делимости на 11 к чередующейся сумме цифр палиндрома. Из суммы цифр получите a+b+c=9; переберите конечное число троек и проверяйте выражение N=100001a+10010b+1100c modulo 7.
- Пункт а
а) Чередующаяся сумма цифр равна a−b+c−c+b−a=0, поэтому N делится на 11.
- Пункт б
б) Условие суммы даёт a+b+c=9.
- Выполняем преобразование
Для a=1,…,9 и различных b,c подстановка в N=100001a+10010b+1100c и проверка modulo 7 даёт полный список: 108801, 720027, 801108.
- Выполняем преобразование
Количество чисел в полном списке равно 3.
- Пункт в
в) Наименьшее число в полном списке — 108801.
Ответ: а) 11; б) 3; в) 108801