Условие
Различные натуральные числа a<b удовлетворяют 1/a+1/b=1/18. а) Найдите значение (a−18)(b−18). б) Может ли a равняться 36? в) Найдите наименьшее возможное значение a+b.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 2: Умножьте равенство на 18ab и дополните выражение до произведения.
Шаг 2 для варианта 2: Положите d=a−18, e=b−18; для минимальной суммы нужна пара делителей 324, ближайшая к √324=18.
Показать ответ
а) 324; б) нет; в) 75
Пошаговое решение
- Порядок вычислений с дробями
Сложение и вычитание дробей выполняем после приведения к общему знаменателю; знаменатель сохраняем, а числители складываем или вычитаем. Деление на ненулевую дробь заменяем умножением на обратную. Сначала выполняем действия в скобках, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание.
- Намечаем ход решения
Умножьте равенство на 18ab и дополните выражение до произведения. Положите d=a−18, e=b−18; для минимальной суммы нужна пара делителей 324, ближайшая к √324=18.
- Пункт а
а) Из 18(a+b)=ab получаем ab−18a−18b=0.
- Выполняем преобразование
Добавляя 324, имеем (a−18)(b−18)=324.
- Пункт б
б) При a=36 первый множитель равен 18, поэтому и второй равен 18; тогда b=a, что запрещено.
- Пункт в
в) Оба числа больше 18.
- Вводим обозначения
Пусть d=a−18, e=b−18; тогда de=324, 0<d<e, a+b=2·18+d+e.
- Выполняем преобразование
Наибольший делитель 324, меньший 18, равен 12; парный делитель равен 27.
- Выполняем преобразование
Поэтому минимум равен 36+12+27=75, и достигается при a=30, b=45.
Ответ: а) 324; б) нет; в) 75